All About Calculus: Integral Fungsi Rasional 2

Assalamu'alaikum Wr wb, pada pembahasan kali ini penulis akan melanjutkan pembahasan mengenai "Integral Fungsi Rasional 2" yang masih ada kaitanya dengan pembahasan sebelumnya.

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah membahas mengenai definisi fungsi rasional serta dekomposisi pecahan parsial, kedua materi tersebut akan sangat berguna dalam memecahkan segala macam integral. Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional, terdapat beberapa teknik dalam mengerjakannya, yaitu:

A. Menggunakan Cara Substitusi

B. Menggunakan Pecahan Parsial

C. Menggunakan Cara Pembagian Menurun

A. Menggunakan Cara Substitusi

Metode ini merupakan cara yang sudah biasa dalam mengerjakan integral fungsi rasional yaitu cukup dengan memisalkan fungsi yang dipilih dengan variabel apa saja agar fungsi menjadi mudah untuk diintegralkan. Metode ini ada 2 jenis yaitu substitusi langsung dan substitusi trigonometri, substitusi langsung dapat dilakukan dengan cara memisalkan fungsi kedalam variabel apa saja agar mudah diintegralkan, sementara substitusi trigonometri dapat dilakukan dengan cara mensubstitusi variabel dalam fungsi menjadi bentuk trigonometri, biasanya cara ini dipakai apabila dengan metode substitusi langsung tidak bisa diselesaikan. Kita ambil salah satu contoh saja.

Contoh 1:

Selesaikanlah $\int{\frac{2x+1}{x^2+x-1}\,dx}$ !
Jawab:

Dengan mencoba menurunkan fungsi pada penyebut, kita akan mengetahui bahwa turunannya akan sama dengan fungsi pada pembilangnya yang artinya bahwa fungsi rasional tersebut dapat diselesaikan dengan substitusi langsung.

Misalkan:

$\begin{aligned}&space; u=x^2+x-1\\&space; du=2x+1\,dx\end{aligned}$

Substitusikan saja ini ke fungsi semula, maka:

$\begin{aligned}&space; \int{\frac{2x+1}{x^2+x-1}\,dx}&=\int{\frac{du}{u}}\\&space; &=\int{\frac{1}{u}\,du}\\&space; &=\ln{u}+C\end{aligned}$

Kembalikan u dalam x sehingga diperolehlah solusi integralnya, jadi:

$\int{\frac{2x+1}{x^2+x-1}\,dx}=\ln{(x^2+x-1)}+C$

B. Menggunakan Pecahan Parsial

Metode ini adalah metode yang sedikit lebih kompleks untuk sebagian orang yaitu metode pecahan parsial, pembahasan pecahan parsial telah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Penyelesaian dengan metode ini dapat dilakukan apabila cara yang diuraikan pada bagian A tidak berhasil kita lakukan. Kita ambil satu contoh soal saja untuk kasus ini.

Contoh 2:

Selesaikanlah $\int{\frac{1-19x}{2x^3-x^2+8x-4}\,dx}$ !
Jawab:

Apabila kita turunkan pada bagian penyebut, kita bisa melihat bahwa hasil turunannya tidak sama dengan fungsi dibagian pembilangnya yang berarti bahwa fungsi tersebut tidak bisa kita selesaikan dengan metode A sehingga kita memerlukan metode lain, yaitu pecahan parsial. Agar fungsi tersebut dapat kita ubah kedalam pecahan-pecahan parsial, kita harus menguraikan fungsi pada bagian penyebut menjadi perkalian beberapa fungsi. Telah kita ketahui bersama bahwa faktor dari polinomial tersebut adalah 1/2, maka fungsi tersebut bisa uraikan menjadi:

$\int{\frac{1-19x}{2x^3-x^2+8x-4}\,dx}=\int{\frac{1-19x}{(x^2+4)(2x-1)}\,dx}$

Perhatikan ! Disini kita mendapatkan dua fungsi yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear, maka dekomposisinya kemungkinan campuran antara aturan 1 dan 2 (lihat pembahasan sebelumnya), sehingga:

$\begin{aligned} \int{\frac{1-19x}{2x^3-x^2+8x-4}\,dx}&=\int{\frac{1-19x}{(x^2+4)(2x-1)}\,dx}\\ &=\int{\left(\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{C}{2x-1}\right)\,dx}\end{aligned}$

Lakukan seperti Contoh-contoh pada bahasan sebelumnya yaitu "Integral Fungsi Rasional 1" dan jika dilakukan dengan benar anda akan memperoleh A = 1, B = -9, dan C = -2. Dengan mengganti nilai masing-masing, diperolehlah hasil dekomposisinya, sehingga:

$\begin{aligned} \int{\frac{1-19x}{2x^3-x^2+8x-4}\,dx}&=\int{\frac{1-19x}{(x^2+4)(2x-1)}\,dx}\\ &=\int{\left(\frac{x-9}{x^2+4}-\frac{2}{2x-1}\right)\,dx}\\ &=\int{\frac{x}{x^2+4}\,dx}-\int{\frac{9}{x^2+4}\,dx}-\int{\frac{2}{2x-1}\,dx}\end{aligned}$

Terlihat bahwa bentuk integral yang tadinya terlihat kompleks sekarang menjadi pengurangan beberapa integral pecahan yang sederhana, selanjutnya tinggal kita selesaikan setiap integral tersebut.

$\begin{aligned} \int{\frac{x}{x^2+4}\,dx}&=\frac{1}{2}\ln{(x^2+4)}+C_1\\ \int{\frac{9}{x^2+4}\,dx}&=\frac{9}{2}\arctan{\frac{1}{2}x}+C_2\\ \int{\frac{2}{2x-1}\,dx}&=\ln{(2x-1)}+C_3\end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned}&space;\int{\frac{1-19x}{2x^3-x^2+8x-4}\,dx}&=\left(\frac{1}{2}\ln{(x^2+4)}+C_1\right)-\left(\frac{9}{2}\arctan{\frac{1}{2}x}+C_2\right)-\left(\ln{(2x-1)}+C_3\right)\\&space;&=\frac{1}{2}\ln{(x^2+4)}-\frac{9}{2}\arctan{\frac{1}{2}x}-\ln{(2x-1)}+C\end{aligned}$

C. Menggunakan Cara Pembagian Menurun

Apabila derajat fungsi pembilang lebih besar dari derajat fungsi penyebut, maka menggunakan metode A maupun B akan sangat sulit untuk memecahkannya, sehingga untuk kasus seperti ini, kita bisa menggunakan metode pembagian menurun seperti kita membagi bilangan di Sekolah Dasar dan ditambah dengan sisa pembagi.

Dalil:

Jika diberikan suatu integral fungsi rasional dimana derajat fungsi pembilang P(x) lebih besar dari penyebut Q(x), maka:

$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx}=\int{\left(R(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}\right)\,dx}$

Dengan;

R(x): Hasil bagi
Q(x): Pembagi
S(x): Sisa pembagian

Contoh 3:

Selesaikanlah $\int{\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3}\,dx}$ !
Jawab:

Soal tersebut sangat jelas tidak dapat kita substitusi dengan fungsi apapun, di sisi lain bentuk tersebut juga tidak dapat kita uraikan dengan dekomposisi pecahan parsial, maka hal yang mungkin kita lakukan untuk mereduksi fungsi tersebut yaitu dengan melakukan pembagian antara pembilang dengan penyebut lalu meletakkan hasilnya dibagian pembilang seperti yang ditunjukkan pada nomor 1 dibawah,pembagian dilakukan dengan cara menurun, dengan begitu kita akan memperoleh:

$\begin{aligned} \int{\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3}\,dx}&=\int{\frac{(x-1)(x^2+3)+(4-3x)}{x^2+3}}...(1)\\ &=\int{\left((x-1)+\frac{4-3x}{x^2+3}\right)}\end{aligned}$

Selanjutnya, kita pecah menjadi integral-integral yang sederhana.

$\begin{aligned} \int{\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3}\,dx}&=\int{\left((x-1)+\frac{4-3x}{x^2+3}\right)\,dx}\\ &=\int{(x-1)\,dx}+\int{\frac{4-3x}{x^2+3}\,dx}\\ &=\int{(x-1)\,dx}+\int{\frac{4}{x^2+3}\,dx}-\int{\frac{3x}{x^2+3}\,dx}\end{aligned}$

Sekarang, kita sudah bisa mengintegralkannya masing-masing, sehingga nantinya akan diperoleh:

$\begin{aligned}&space; \int{(x-1)\,dx}&=\frac{1}{2}x^2-x+C_1\\&space; \int{\frac{4}{x^2+3}\,dx}&=\frac{4}{3}\sqrt{3}\arctan{\frac{1}{3}x\sqrt{3}}+C_2\\&space; \int{\frac{3x}{x^2+3}\,dx}&=\frac{3}{2}\ln{(x^2+3)}+C_3\end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned}&space; \int{\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3}\,dx}&=\left(\frac{1}{2}x^2-x+C_1\right)+\left(\frac{4}{3}\sqrt{3}\arctan{\frac{1}{3}x\sqrt{3}}+C_2\right)-\left(\frac{3}{2}\ln{(x^2+3)}+C_3\right)\\&space; &=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{4}{3}\sqrt{3}\arctan{\frac{1}{3}x\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln{(x^2+3)}+C\end{aligned}$

Demikianlah untuk pembahasan mengenai "Integral Fungsi Rasional 2" jika dalam penulisan ini masih terdapat banyak kekurangan penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya dan apabila ada yang belum mengerti silahkan tanyakan di kolom komentar. Wa'ssalam.

All About Calculus

Halaman

Sabtu, 11 Juli 2020

Integral Fungsi Rasional 2

Tidak ada komentar:

Posting Komentar