Integral Fungsi Rasional 1

     Assalamu'alaikum Wr wb, pada bahasan kali ini penulis akan mengulas salah satu materi matematika yang berjudul "Integral Fungsi Rasional 1" yang masih berkaitan dengan pecahan parsial, sebelum kita membahas mengenai materi tersebut, alangkah baiknya dengan terlebih dahulu membahas apa yang dimaksud dengan fungsi rasional tersebut.

A. DEFINISI FUNGSI RASIONAL

     Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, biasanya ditulis sebagai:

  ,  dengan g(x) ≠ 0 dan f(x) ≠ 0

Grafik fungsi rasional umumnya berbentuk seperti hiperbola, berikut contoh dari fungsi rasional:

       
     

B. PECAHAN PARSIAL

     Misalkan diberikan sebuah penjumlahan dua buah fungsi rasional berikut.

                                  

Jika kita samakan penyebutnya kemudian bagian pembilang kita jumlahkan. Kita akan memperoleh bentuk:

                         

Apabila kita misalkan A = 3 dan B = 2 dan mengambil bentuk terakhir dari persamaan (1) tersebut, maka:

                           

Sehingga, bentuk (2) inilah yang disebut sebagai dekomposisi pecahan parsial. Bentuk dari dekomposisi bisa berbeda berbeda tergantung kondisi dari bentuk persamaan tersebut. Dekomposisi sendiri terdapat beberapa kondisi, yaitu:

1. Apabila Faktor Penyebut Linear

    Apabila faktor penyebut berbentuk linear, maka pembilang dari pecahan tersebut adalah konstanta sehingga bentuk dekomposisinya:

                             

2. Apabila Faktor Penyebut Berbentuk Polinomial

     Apabila faktor penyebut berbentuk polinomial (suku banyak), maka bentuk dekomposisinya tergantung derajat sukunya.

                   

3. Apabila Faktor Penyebut Berulang

    Untuk kasus faktor berulang, bentuk dekomposisinya adalah:

                 

Adakalanya bentuknya campuran antara 1, 2, atau 3. Maka, bentuk dekomposisinya tinggal disesuaikan saja dengan melihat bentuk dipenyebutnya apabila penyebutnya berbentuk linear maka gunakan bentuk 1, bila polinomial gunakan bentuk 2, dan bila berulang tetap gunakan aturan 3 sekaligus aturan 1 atau 2. Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

Contoh 1:

     Ubah bentuk  menjadi penjumlahan pecahan parsial !
Jawab:

    Jika kita perhatikan, penyebut pada fungsi tersebut adalah linear, maka kita bisa menggunakan aturan 1 untuk dekomposisinya, karena ada 2 fungsi pada bagian penyebut, maka kita bisa memisalkan konstanta di pembilang masing-masing A dan B. Sehingga:

                             

Dengan menyamakan penyebutnya, lalu mengaitkannya ke fungsi semula. Kita memperoleh:

               

Dari sini, dengan menggunakan kesamaan antara ruas kiri dan kanan, akan diperoleh dua buah persamaan linear. Yaitu:

                           

Selesaikan sistem persamaan tersebut dan jika dilakukan dengan benar anda akan memperoleh A = 4 dan B = 1. Sebagai akibatnya, jika kedua nilai tersebut disubstitusi ke proses yang pertama kali kita lakukan, maka fungsi akan berubah menjadi:

                           

Sehingga telah berhasilah kita mengubah fungsi tersebut ke dalam penjumlahan pecahan-pecahan parsial.

Contoh 2:

     Nyatakan bentuk  ke dalam penjumlahan pecahan-pecahan parsial !
Jawab:

    Dengan menganalisa fungsi tersebut, kita dapat melihat bahwa fungsi rasional tersebut berbentuk campuran antara linear dan polinomial, seperti keterangan sebelumnya, jika berbentuk campuran maka mendekomposisikanya hanya dengan menyesuaikan dengan persamaan di penyebutnya. Untuk fungsi polinomial, gunakanlah bentuk 2 dan jika linear, gunakan bentuk 1. Karena fungsi polinomial tersebut berderajat 2 dan salah satu persamaan adalah linear, maka bentuk dekomposisinya:

                             

Dengan cara yang sama seperti pada contoh 1, akan diperoleh A = 1, B = -1, dan C = -1 sehingga bentuk dekomposisi dari y adalah:

                              

Demikianlah untuk pembahasan mengenai "Integral Fungsi Rasional 1" sedangkan untuk bagian kedua dari pembahasan tersebut akan penulis posting di lain kesempatan, jika dalam penulisan ini masih terdapat banyak kekurangan penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya dan apabila ada yang belum mengerti silahkan tanyakan di kolom komentar. Wa'ssalam.